Problema 1. En un cuadrado ABCD de elige un punto P cualquiera, donde PA = 4cm, PB = 8 cm y PC es igual a 9 cm. Calcular la distancia PD.
Solución: Llamaremos L al lado del cuadrado. Expresando la situación en coordenadas cartesianas con origen en P (0,0). Si A = (a, b), entonces:
A = (a, b), B(a, b- L) , C(a-L, b ) y D(a-L, b-L)
Nuestro objetivo es calcular PD, para ello, calcularemos
PD2 = (a- L)2 + (b- L)2
Sabemos que : PA = 4cm, PB = 8 cm y PC = 9 cm, por tanto:
a2 + b2 = 42 a2 + (b- L)2 = 82 (a-L)2 + b2 = 92
a) a2 + b2 = 16
b) a2 + b2– 2bL + L2 = 64
c) a2 + b2– 2aL + L2 = 81
Para calcular PD, PD2 = (a- L)2 + (b- L)2 = PD2 ⇒ a2 + b2– 2aL- 2bL + 2L2
Calcularemos b) + c) – a) (segunda y tercera menos primera)
b) + c) – a) = a2 + b2– 2aL- 2bL + 2L2 = 64 +81 -16 = PD2 ⇒
PD2 =129 ⇒ PD =√129 cm.
Problema 2. En un cuadrado de vértices O(0,0) A (5,0) B (5,5) C(0,5) de elige un punto P(2,4) calcula la distancia del punto P a la diagonal OC (0,0) , (5,5)
Solución 1: Sean el punto P(2,4), y los puntos de la diagonal OB P’(2,2) , P’’(4,4). El triángulo P’PP’’ isósceles rectángulo en P.
La distancia PH es el lado de un cuadrado cuya diagonal PP’’ = 2, por el teorema de Pitágoras:
2·PH2 =(PP’’)2 = 4 ⇒ PH= Ö2
Solución 2:
Area de (PP’P’’) = PP’· PP’’/2 = 2 u2
Area de (PP’P’’) = PH·P’P’’/2 = (PH·2√2) /2= PH·√2 u2
Por tanto PH·√2 = 2 ⇒ PH= √2
Problema 3. En un rectángulo ABCD de elige un punto P cualquiera, donde PA = 7cm, PB = 4 cm y PC es igual a 6 cm. Calcular la distancia PD.
Solución: Expresándolo en coordenadas cartesianas con origen en P (0,0),
B = (a, b), A (x, b) , C(a, y ) y D(x, y)
tendremos que calcular PD y, para ello, x2 + y2, ya que PD2 = x2 + y2
PB = 4, PC = 6 y PA = 7
Las coordenadas cumplen:
a2 + b2 = 42 a2 + y2 = 62 y x2 + b2 = 72
Sumando, miembro a miembro, las ecuaciones segunda y tercera y la tercera y restando la primera: x2 + y2 = 69 ⇒ AP = √69 ≈ 8,307 cm
