Comenzaremos desde el momento en el que las matemáticas se utilizaron para describir el comportamiento de los fenómenos físicos a principios del siglo XVII con las obras de Galileo (1564-1642) y sobre todo con los Principia (1687) de I. Newton (1642-1727). Con anterioridad, las matemáticas no se aplicaban al estudio de la naturaleza y funcionaban con plena autonomía la Geometría de Euclides, la Aritmética de Nicómaco, la de Diofanto, las Aritméticas mercantiles y la resolución de ecuaciones, el cálculo de logaritmos. Incluso se habían realizado entre estas Matemáticas Puras ciertos mestizajes de vital importancia como la Geometría Analítica.
Las Matemáticas aplicadas al estudio de la naturaleza alcanzaron en el siglo XVIII un protagonismo tan grande que rivalizaban o superaban el prestigio de las Matemáticas Puras. Y comenzó a hacerse una distinción clara entre ambas como se refleja en los libros de texto de carácter enciclopédico o dedicados a la enseñanza de las matemáticas. En España aparecieron algunos libros como el Compendio Mathematico, de Tomás V. Tosca (1651-1723) escrito entre 1707 y 1715, en el que se destacaban los dos tipos de matemáticas En el primer volumen, Tosca presentaba la siguiente división: Matemáticas puras: que comprendían la Geometría, la Aritmética, el Álgebra, la Trigonometría y la Logarítmica y las Ciencias Físico-matemáticas de las que formaban parte: la Música, la Mecánica, la Estática, la Hidrostática, la Arquitectura civil, la Arquitectura militar, la Artillería, la Óptica, la Geografía, la Astronomía y la Cronografía.
Las Matemáticas Puras, con la Aritmética y el Algebra, se ocupaba de los números, y, con la Geometría y la Trigonometría, se ocupaban del estudio del espacio. El resto de las ramas de las Matemáticas serían Matemáticas Aplicadas, llamadas, en el siglo XVIII, de forma habitual, Matemáticas Mixtas.
F.Verdejo, en su obra Compendio de Matemáticas puras y mixtas para instrucción de la juventud (1792) escribió el libro con el mismo criterio de clasificación de las matemáticas que había utilizado Tosca. Ya en el siglo XIX J. M. Vallejo (1779-1846) escribió Compendio de matemáticas puras y mixtas (1819) que se utilizó como libro de texto en Espala durante medio siglo.
Las Matemáticas Puras crecieron de forma autónoma: la Aritmética dio paso al Álgebra y el Algebra se unió a la Geometría formando la Geometría Analítica, luego apareció el Cálculo Infinitesimal, que, con sus métodos y las ecuaciones diferenciales, permitió estudiar los fenómenos físicos, que evolucionaban en el tiempo, es decir, las matemáticas pudieron aplicarse a la Física y al estudio de los fenómenos naturales con una potencia inédita.
Con estas matemáticas la comprensión de los fenómenos físicos tuvo un avance extraordinario. El razonamiento lógico sólo podía desarrollarse en la forma lineal y deductiva que señalaban los silogismos, el Algebra y el Cálculo Infinitesimal ampliaron el campo de visión. En una expresión algebraica se resumía un razonamiento entero, y al combinar muchas ecuaciones entre sí o al someterlas a determinadas transformaciones, nuestra mente no trabajaba solamente con simples y lineales silogismos, sino que actuaba sobre conjuntos de relaciones, enlazando conceptos de forma más compleja. Por estas razones J. Echegaray (1832-1916), en su Discurso de ingreso en la Academia de Ciencias, titulado Historia de las matemáticas puras en nuestra España (1866) decía del Algebra (Se refiere al Álgebra y al Análisis):
El álgebra es, respecto a la lógica ordinaria, lo que la colosal máquina de vapor es a la primitiva palanca impulsada por el brazo del hombre.
A lo largo del siglo XVIII las Matemáticas Mixtas habían sido cultivadas por grandes autores, como L. Euler (1707-1783), J. L.Lagrange (1736–1813), e incluso J. Fourier (1768-1830), pero, a finales de siglo, otros matemáticos como A. Cauchy (1789 – 1857) o B. Bolzano (1781 – 1848) se dedicaron a la dar rigor a las matemáticas dando definiciones precisas y proporcionando fundamentos sólidos.
Las Matemáticas Mixtas alcanzaron un éxito innegable, en Mecánica, Astronomía, en el estudio de estudio de la propagación del calor y en la expresión de leyes matemáticas experimentales. Realmente las matemáticas eran un lenguaje hecho a medida para el estudio de la naturaleza, pero el lenguaje tenía algunas deficiencias lógicas y, aunque eran conocidas por los matemáticos, seguían aplicándose porque, con esas matemáticas mal fundamentadas, se conseguían grandes avances en el desarrollo de las ciencias y en la predicción de acontecimientos.
Las matemáticas como lenguaje necesitaban ser fundamentadas y que se les proporcionara rigor lógico. Había lagunas lógicas en muchos campos, por ejemplo, en las ampliaciones numéricas (números reales y complejos), en el uso de los infinitésimos de diferentes órdenes, en el estudio de convergencia de sucesiones y series. Preguntas como el orden se los números complejos, el manejo de los infinitésimos de distintos órdenes, la utilización de series numéricas divergentes o preguntas sobre convergencia de sucesiones de funciones tales como si
¿Hereda f (x) todas las propiedades de las {fn (x)}? Eran dudas temas de continuos tropiezos.
La aparición de las geometrías no euclidianas ofrecía la posibilidad de que existían otras geometrías válidas distintas de la euclidiana para interpretar el espacio físico abrió el camino hacia una nueva matemática libre. Geometrías válidas desde el punto de vista lógico que habían surgido con sólo cambiar un axioma que no estuviera en contradicción con el resto. A partir de aquí se abrieron nuevas líneas de investigación sin tener en cuenta sus aplicaciones a las ciencias ¿Las matemáticas eran solamente lógica? Muchos matemáticos trabajaron y realizaron la mayor parte se sus investigaciones al margen de la Física entre otros K. F.Gauss (1777-1855), B. Riemann (1826-1866), W. R. Hamilton (1805-1865), Dirichlet (1805 – 1859), K. Weiersstrass (1815-1897) , R. Dedekind (1831-1916) , G. Cantor (1845 -1918), L. Cronecker (1823 – 1891), F. Klein (1849 – 1925), S. Lie (1842 –1899).
Pero ¿que eran las matemáticas sin sus aplicaciones, sin lo que le había proporcionado todo el éxito? Es decir, ¿que eran las Matemáticas Puras? ¿Se quedaban reducidas a puras especulaciones? ¿A la Aritmética, al Álgebra y al Cálculo solventando las pegas que hemos apuntado? ¿a la Geometría que, tras la aparición de las Geometrías no euclidianas de habían convertido en una materia con la misma validez lógica que las otras, con las dudas de si el espacio en el que nos movemos era el espacio de Euclides, el de las otras geometrías o si el espacio de Euclides era una creación de nuestra mente?
Lo cierto es que la producción de matemática abstracta en la segunda mitad del siglo XIX, fue enorme, se desarrollaron teoría de matrices, cuaterniones, teoría de conjuntos, teoría de grupos clasificación de las geometrías, y otras muchas y estas matemáticas, creadas en libertad, independientes de la física siguieron siendo útiles para la ciencia. La teoría de matrices fue decisiva para la formulación de la Mecánica cuántica de W. Heisenberg (1901-1976); la Geometría de Riemann, fue fundamental para la formulación de la Teoría General de la Relatividad por A. Einstein (1879-1955); los Espacios de Hilbert fueron la base para la formulación de la Mecánica Cuántica por J. von Neumann (1903-1957); por lo que se comprenden las palabras del E. P. Wigner (1902-1995), Premio Nobel de Física de 1963, en su artículo La incomprensible efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales (1960)
“El milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas en la formulación de las leyes físicas es un don maravilloso que ni entendemos ni merecemos. Deberíamos estar agradecidos por ello, con la esperanza de que continúe siendo válido en el futuro y que se extienda […] a otras ramas del conocimiento.”
Parafraseando al Premio Nobel de Medicina de 1947, B. Houssay (1887-1971) diremos “No hay matemáticas aplicadas (mixtas) sino matemáticas por aplicar
