Los conjuntos fractales se hicieron populares en la década de los setenta del siglo XX por la belleza, colorido y complejidad de los conjuntos que se obtenían gracias al uso de los ordenadores. Pero si hubiera sido solamente su belleza lo que había hecho famosos a los fractales, seguramente su lugar estaría reducido museos y salas de exposiciones, pero, además de mostrarnos su belleza los fractales han servido de modelo para descubrimientos científicos y para representar objetos reales.
La geometría fractal ha permitido estudiar matemáticamente las irregularidades de la naturaleza atendiendo precisamente a su aspecto desordenado, asimétrico e incluso estrambótico que pueda presentar, sin necesidad de modelizarlo con un polígono, un triángulo o una elipse como haría la geometría euclidiana. Con fractales se pueden abordar cuestiones tales como el modelo geométrico que sigue el crecimiento de las ramas de un árbol, la forma de un macizo montañoso, la evolución de la formación de las nubes e, incluso, la trayectoria de los rayos en una tormenta, Todos estos fenómenos naturales se pueden comprender mejor gracias a la geometría fractal.
El concepto principal para modelizar formas, situaciones y algunos comportamientos del mundo real es el principio matemático de autosemejanza o autosimilitud, el cual se da cuando, en una figura, una misma forma se repite indefinidamente a escala cada vez más pequeña o, como, en el caso del conjunto de Cantor, una misma acción se aplica sucesivamente.
Precisamente fue el conjunto de Cantor el que inspiró a B. Mandelbrot (1924-2010) la explicación de un fenómeno del que se ocupó hacia 1962 cuando trabajaba en el Thomas Watson Research Institute de IBM en Nueva York. El problema era analizar la distorsión que producía un ruido espontáneo en un canal de transmisión de datos. Eran los comienzos de la informática y la calidad de la transmisión de datos dependía de la probabilidad de error debida a la distorsión, la cual dependía, a su vez de las intensidades relativas de señal y ruido. Su trabajo era identificar las razones por las que se producía una interferencia de ruido blanco en el sistema en el que trabajaba.
Con su genial habilidad para interpretar los problemas en términos geométricos, Mandelbrot analizó el gráfico de la interferencia que se producía entre el ruido blanco y la señal y descubrió que, independientemente de la escala del gráfico, los datos tomados a lo largo de una hora, de veinte minutos o de cinco tenían siempre el mismo patrón.
En su libro La Geometría Fractal de la Naturaleza, dice:
“Sometamos los errores a un análisis cada vez más refinado. Un ligero examen muestra periodos (de tiempo) en los que no se registra ningún error. Llamaremos huecos de orden 0 estos periodos de remisión si su duración es superior a una hora. Por el contrario, cualquier intervalo de tiempo flanqueado por dos huecos de orden 0 lo denominaremos ráfaga de errores. Un análisis tres veces más fino, de unos veinte minutos, revela que la ráfaga original es, a su vez intermitente, esto es que tiene huecos mas cortos, de orden 1 y tiene también ráfagas más cortas de orden 1, Del mismo modo cada una de estas ráfagas contiene varios huecos de orden 2, de unos 400 segundos de duración intercalados entre ráfagas de orden 2 y así sucesivamente, de modo que cada estadio está formado por huecos y ráfagas tres veces más cortas que el anterior.
La descripción hecha por Mandelbrot sugiere una propiedad que tienen las ráfagas de orden k contenidas en lar ráfagas de orden k-1 y es que la probabilidad de las posiciones no depende de k. Lo que nos aporta a la vez una idea de autosemejanza
Quizás la autosemejanza se puede hacer más visible observando que el conjunto de Cantor, K, se ha formado desde [0,1], pero si, realizamos una extrapolación, partimos de [0,3] y seguimos el mismo procedimiento de eliminación del tercio central obtendremos el conjunto K y una réplica de él mismo y si partiéramos de [0,9] obtendremos K y tres réplicas de él mismo.
Se puede obtener una imagen aproximada de la sucesión de errores si el proceso se detiene al llegar a intervalos de tamaño ε =3-k y podría tomarse ε el tiempo necesario para transmitir un símbolo por un canal de comunicación electrónico. Consideraremos la extrapolación periódica de K desde [0,1] un a un [0, Ω] con Ω grande.
Denotamos con M(R) al número de errores entre 0 y R. Se observa que el número de errores se duplica cada vez que R se triplica, por tanto, la medida de los errores sigue siendo proporcional a RD, dónde D es la dimensión fractal, [M(R) α RD] dónde D es la dimensión fractal del conjunto. El número de errores por unidad de longitud en [0, R] será RD-1 y ΩD-1 que tiende a 0, pero Ω es finito, aunque grande, lo que significa que existirá siempre, aunque no se puede determinar su valor con precisión suficiente
Al conjunto de Cantor, Mandelbrot le dio la siguiente interpretación física: La materia homogénea del tercio central del inicial del conjunto inicial [0, 1] se difunde uniformemente para formar un hueco entre los dos tercios extremos. Formando lo que llaman pregrumos y en un proceso de remolinos y centrifugación. Se repite la misma operación en los conjuntos [0, 1/3] y [2/3, 1] y que, en el límite converge a un conjunto (el conjunto K) que llamó coágulo y denominó suero al espacio no ocupado por el coágulo.
Mandelbrot vio representados en el conjunto de Cantor los errores, aparentemente desordenados de las líneas de transmisión de datos de IBM. Y lo interpretó como una muestra de tiempo fractal en el mundo físico. Y pensó que extendiendo esta nueva geometría fractal a otros campos de la vida real ganaría la partida a los matemáticos tradicionales que pensaban que la geometría tradicional era el ideal de belleza, rigor y soporte todas las matemáticas de la física.
Víctor Arenzana Hernández
