En un artículo anterior de este blog se trató un problema clásico conocido en la literatura matemática como el problema de las Cartas Extraviadas, el cual fue propuesto, por primera vez de forma general, por el matemático francés P. R. de Montmort (1678-1719) en su libro Ensayo de análisis de los juegos de azar (1708) formulado en la forma siguiente:
Una persona ha escrito n cartas a n personas diferentes y escribió sus direcciones en n sobres. Si introdujo las cartas en los sobres al azar ¿De cuántas formas es posible que ninguna de las cartas esté dentro de su sobre correspondiente?
Ver https://vicmat.com/euler-la-formula-recursiva-general-las-cartas-extraviadas-recursividad-ii/
Hoy presentamos este problema en términos parejas de baile y de probabilidades.
Supongamos que hay n parejas bailando y que cada cierto tiempo suena un timbre y todos tienen que cambiar de pareja de baile con la pareja que tiene más próxima. ¿Cuál será la probabilidad de ningún hombre baile con su propia pareja? Llamaremos P(n) a la probabilidad de se cumpla C(n) que ninguna de las n parejas baile con su propia pareja.
Supongamos que cuando hay en el baile n parejas bailando entra una nueva pareja, se une al baile y entonces toca el timbre que obliga a cambiar de pareja. ¿Cómo calcularemos P(n + 1)?, es decir ¿Cuál será la probabilidad de que cada una de las n + 1 parejas baile con pareja distinta a la suya?
Dos formas diferentes:
a) Si antes de la llegada de la pareja se había producido condición C(n), que se cumple con una probabilidad p(n), para que se cumpla C(n+1) Juan toma una compañera al azar entre las n bailarinas y su pareja [n/(n+1)] y Silvia, que bailará con el compañero de la bailarina elegida por Juan. La probabilidad de que las n+1 parejas cumplan la condición C(n+1) será en esta situación será el producto :
b) Si antes de la llegada de la pareja no se cumplía la condición C(n) se podía restablecer C(n+1) en el caso de que hubiera una sola pareja legítima, que fuera la pareja enésima, formada por Luis y Rosa. En este caso la n-1 parejas restantes cumplen la condición C(n-1) con probabilidad p(n-1) y Juan elegirá Rosa y Silvia baila con Luis.
La probabilidad de que las n+1 parejas cumplan la condición C(n+1) será en esta situación será probabilidad de que Juan elija a Rosa por p(n-1):
Por lo tanto:
Tomando valores iniciales p(1) = 0 y p(2) = 1/2
Puede demostrarse que:
